Question

【题目】已知：如图，□ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠BAD＝120°，E为BC上一动点(不与B点重合)，作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF的面积为S．

(1)求证：△BEF∽△CEG；

(2)求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；

(3)当E点运动到何处时，S有最大值，最大值为多少?

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)(3)当x＝3时，S最大值．

【解析】

(1) 由∠BFG=∠G=90°，∠BEF=∠CEG，得△BEF∽△CEG；

（2）设BE=x，在平行四边形ABCD中，因为∠BAD=120°所以∠B=60°=∠ECG，又BE=x，EC=3-x，所以EF、CG可利用三角函数求出，即在△EFG中，边和边上的高就为已知，从而求出解析式；

（3）由抛物线的开口方向和对称轴可得，当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，
所以，当x=3时，即E与C重合时，取最大值.

（1）证明：∵EF⊥AB，AB∥DC，

∴EF⊥DG．

∴∠BFG=∠G=90°．
又∵∠BEF=∠CEG，

∴△BEF∽△CEG；
（2）解：由（1）得DG为△DEF中EF边上的高，设BE=x，
在Rt△BFE中， EF=BEsinB=x．

在Rt△CEG中，CE＝3x，GC＝(3x)cos60°＝，

得DG＝DC+GC＝，

所以，S＝EFDG＝x2+x，（其中0＜x≤3）；
（3）解：∵a＝＜0，对称轴x＝＞3，

∴当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，
所以，当x=3时，即E与C重合时，取最大值S最大值＝3．