Question

5．如图，已知P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP按顺时针方向旋转使点A与点C重合，这时P点旋转到G点．
（1）求出PG的长度；
（2）请你猜想△PGC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得出∠PBG=∠ABC=90°，BP=BP′即可证得△PBG是等腰直角三角形，从而求得PG=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{2}$；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求证．

解答 （1）解：∵∠ABP=∠CBG，
∴∠PBG=∠ABC=90°，
又∵BP=BG
∴△PBG是等腰直角三角形；
∴PG=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{2}$；
（2）△PCG是直角三角形．
证明：∵PG=2$\sqrt{2}$，GC=PA=1，
∵（2$\sqrt{2}$）²+1²=3²
∴△PCG是直角三角形．

点评 本题主要考查了图形的旋转的性质以及勾股定理的逆定理，正确理解旋转中出现的相等的角和相等的边是解题的关键．