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【题目】如图,ABC中,AB=BCAC=8tanA=kPAC边上一动点,设PC=x,作PEABBCEPFBCABF

1)证明:PCE是等腰三角形;

2EMFNBH分别是PECAFPABC的高,用含xk的代数式表示EMFN,并探究EMFNBH之间的数量关系;

3)当k=4时,求四边形PEBF的面积Sx的函数关系式.x为何值时,S有最大值?并求出S的最大值.

【答案】解:(1)证明:∵AB=BC∴∠A=∠C

∵PE∥AB∴∠CPE=∠A

∴∠CPE=∠C∴△PCE是等腰三角形。

2∵△PCE是等腰三角形,EM⊥CP∴CM=CP=tanC=tanA=k

∴EM=CMtanC=k=

同理:FN=ANtanA=k=4k﹣

由于BH=AHtanA=×8k=4kEM+FN=+4k﹣=4k

∴EM+FN=BH

3)当k=4时,EM=2xFN=16﹣2xBH=16

∴SPCE=x2x=x2SAPF=8﹣x16﹣2x=8﹣x2SABC=×8×16=64

k=4时,四边形PEBF的面积Sx的函数关系式为

x=4时,S有最大值32

【解析】1)根据等边对等角可得∠A=∠C,然后根据两直线平行,同位角相等求出∠CPE=∠A,从而得到∠CPE=∠C,即可得证。

2)根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP,然后求出EM,同理求出FNBH的长,再根据结果整理可得EM+FN=BH

3)分别求出EMFNBH,然后根据SPCESAPFSABC,再根据,整理即可得到Sx的关系式,然后利用二次函数的最值问题解答。

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