Question

9．在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，D为垂足，∠ABC的平分线交AD，AC于E，F两点．说明AE=AF成立的理由．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义求出∠ABF=∠FBC，再利用∠BAC=90°，AD⊥BC于点D推出∠AFE=∠AEF，然后根据等角对的等边的性质即可得证．

解答 证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠AFE=90°，
∵DA⊥BC，
∴∠CBE+∠BED=90°，
∴∠AFE=∠BED，
∵∠BED=∠AEF（对顶角相等），
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．

点评 本题考查了直角三角形的两锐角互余的性质，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键，是基础题，难度不大．