Question

5．如图，PA切⊙O于点A，弦AB⊥OP，垂足为M，AB=4，OM=1，则PA的长为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 先根据垂径定理得AM=$\frac{1}{2}$AB=2，则利用勾股定理可计算出OA=$\sqrt{5}$，再根据切线的性质得∠OAP=90°，即∠PAM+∠OAM=90°，利用等角的余角相等得∠P=∠OAM，于是可判断Rt△PAM∽Rt△AOM，然后利用相似比可计算出PA的长．

解答 解：∵AB⊥OP，
∴AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
在Rt△AOM中，OA=$\sqrt{O{A}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，即∠PAM+∠OAM=90°，
而∠PAM+∠P=90°，
∴∠P=∠OAM，
∴Rt△PAM∽Rt△AOM，
∴$\frac{PA}{OA}$=$\frac{AM}{OM}$，即$\frac{PA}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{1}$，
∴PA=2$\sqrt{5}$．
故选C．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．