Question

如图，△ABC中，∠ACB=60°，△ABC′，△BCA′，△CAB′都是△ABC形外的等边三角形，点D在边AC 上，且DC=BC．连接DB，DB′，DC′．有下列结论：

①CDB是等边三角形；

②△C′BD≌△B′DC；

③S_△AC′D≠S_△DB′A

④S_△ABC+S_△ABC′=S_△ACB′+S_△A′BC

其中，正确的结论有__________（请写序号，少选、错选均不得分）

Answer 1

①②④

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】根据等边三角形的性质得出△BCD是等边三角形以及∠C′BD=60°+∠ABD=∠ABC，进而证得△C′BD≌△ABC，△BCA≌△DCB′，进一步证得四边形AB′DC′是平行四边形，即可判断②③④．

【解答】解：∵BC=CD，∠ACB=60°，

∴△BCD是等边三角形，故①正确；

∵△ABC′和△BCD是等边三角形，

∴∠ABC′=∠DBC=60°，

∴∠C′BD=60°+∠ABD=∠ABC，

在△C′BD与△ABC中，

，

∴△C′BD≌△ABC，

在△BCA与△DCB′中，

∴△BCA≌△DCB′（SAS）．

∴△C′BD≌△B′DC，故②正确；

∵△C′BD≌△ABC，

∴∠C′DB=∠ACB=60°，C′D=AC，

∵∠DBC=60°，AB′=AC，

∴∠C′DB=∠DBC，C′D=AB′，

∴BC∥C′D，

∵∠AB′C=∠A′CB=60°，

∴BC∥A′B，

∴AB′∥DC′，

∴四边形AB′DC′是平行四边形，

∴S_△AC′D=S_△DB′A，故③错误；

∵S_△AC′D=S_△DB′A，S_△B′CD=S_△BC′D，

∴S_△ABC+S_△ABC′=S_△ACB′+S_△A′BC．故④正确．

故答案为①②④．

【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及三角形面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键．