【题目】将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中,点
,点
,点E,F分别在边
,
上.沿着
折叠该纸片,使得点A落在
边上,对应点为
,如图①.再沿
折叠,这时点E恰好与点C重合,如图②.
(Ⅰ)求点C的坐标;
(Ⅱ)将该矩形纸片展开,再折叠该矩形纸片,使点O与点F重合,折痕与相交于点P,展开矩形纸片,如图③.
①求的大小;
②点M,N分别为,
上的动点,当
取得最小值时,求点N的坐标(直接写出结果即可).
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)①
,②
【解析】
(Ⅰ)由翻折的性质可知,,
,再由正方形的性质和勾股定理可得OE,继而即可求解;
(Ⅱ)①连接,由题意和(Ⅰ)可知,而
,
,由等角对等边可知
,
,设
,则
,然后根据翻折的性质可知
即
,把x代入列出方程,解方程求出
,根据相似三角形的判定可证,
,再根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和即可求解;
②利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质可判断M、N的位置,进而根据题意即可求解.
解:(Ⅰ)∵点,∴
.
由两次折叠可知,,
.
∴是正方形.∴
.
在中,
.
∴点C的坐标为.
(Ⅱ)①如图③,连接,由
和(Ⅰ)可知,
,而
,
,
故,
.
设,则
,
由即
,
得,解得
.
所以.则有
.
得.又
,则
,
即.
②如图④所示,过点P作⊥OC于点
,交OF于点M,作
关于OF的对称点N,连接MN,此时
取得最小值时,且
,
过点N作NG⊥x轴于点G,
∵由(Ⅱ)知,∠AOE=45°,
∴∠NOG=90°-45°=45°
∴OG=NG=.
∴.
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【题目】平面直角坐标系中,直线交坐标轴于点
、点
且
面积为
如图1,求
的值;
如图2,点
在
轴的负半轴上,
在线段
上,连
,作
交线段
于
, 若
点纵坐标为
长度为
,求
与
的函数关系式(不写自变量取值范围);
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【题目】在平面直角坐标系内,抛物线与线段
有两个不同的交点,其中点
,点
.有下列结论:
①直线的解析式为
;②方程
有两个不相等的实数根;③a的取值范围是
或
.
其中,正确结论的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】二次函数(
,
,
是常数,
)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
… | -1 | 0 | 1 | 3 | … | |
… | 3 | 3 | … |
且当时,与其对应的函数值
.有下列结论:①
;②3是关于
的方程
的一个根;③
.其中,正确结论的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】如图, 在中,
,
, 点
为
中点, 点
在边
上, 连接
,过点
作
上
交
于点
,连接
。下列结论:
(1)(2)
(3)
(4)
其中正确的是__________(填写所有正确结论的序号)
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【题目】已知:二次函数y = ax2+ bx + c (a≠0)的图象如图所示,下列结论中:
①abc>0;②2a + b>0;③a +b<m(am +b)(m≠1);④(a+c)2< b2;⑤a >1.其中正确的项是( )
A.①②⑤B.①③④C.①②④D.②④⑤
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【题目】已知:如图,在四边形ABCD中,点G在边BC的延长线上,CE平分∠BCD,CF平分∠GCD,EF∥BC交CD于点O.
(1)求证:OE=OF;
(2)若点O为CD的中点,求证:四边形DECF是矩形.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的半圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使EF=AE,连接FB、FC.
(1)求证:四边形ABFC是菱形;
(2)若AD=,BE=1,求半圆的面积.
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