Question

【题目】（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．△ABC的高AD、BE相交于点M．求证：AM＝2CD；

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点 E．若AD＝3，则BE＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）1.5．

【解析】

（1）根据全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质定理，即可得到结论；

（2）延长BE、AC交于F点，首先利用三角形内角和定理计算出∠F＝∠ABF，进而得到AF＝AB，再根据等腰三角形的性质可得BE＝BF，然后证明△ADC≌△BFC，可得BF＝AD，进而得到BE＝AD，即可求解．

（1）在△ABC中，

∵∠BAC＝45°，BE⊥AC，

∴AE＝BE，

∵AD⊥BC，

∴∠EAM＝90°-∠C=∠EBC，

在△AEM和△BEC中，

∵，

∴△AEM≌△BEC（ASA），

∴AM＝BC，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

∴BC＝2CD，

∴AM＝2CD；

（2）延长BE、AC交于F点，

∵BE⊥EA，

∴∠AEF＝∠AEB＝90°．

∵AD平分∠BAC，

∴∠FAE＝∠BAE，

∴∠F＝∠ABE，

∴AF＝AB，

∵BE⊥EA，

∴BE＝EF＝BF，

∵△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，

∴∠CAB＝45°，

∴∠AFE＝(180°﹣45°)÷2＝67.5°，∠FAE＝45°÷2=22.5°，

∴∠CDA＝67.5°，

∵在△ADC和△BFC中，

∵，

∴△ADC≌△BFC（AAS），

∴BF＝AD，

∴BE＝AD＝1.5，

故答案为：1.5．