Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝20cm，BC＝15cm，动点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿AB方向运动，到达点B时停止运动．过点P作AB的垂线交斜边AC于点E，将△APE绕点P顺时针旋转90°得到△DPF．设点P在边AB上运动的时间为t（秒）．

（1）当点F与点B重合时，求t的值；

（2）当△DPF与△ABC重叠部分的图形为四边形时，设此四边形的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）若点M是DF的中点，当点M恰好在Rt△ABC的内角角平分线上时，求t的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=（0<t≤）；（3）或.

【解析】

（1）由条件可得AP=4t，易证，根据相似三角形的性质可得PE=3t，由旋转的性质可得PE= PF，然后根据PF+AP=AB建立方程，就可求出t的值．

（2）先用t的代数式表示出DE长及的面积，然后证明，再求出的面积，然后运用相似三角形性质（相似三角形的面积比等于相似比的平方）将的面积用t的代数式表示，就可得到S与t的函数关系式.

（3）设DF交AC于点G，过点M作MH⊥AB于点H，过点M作MN⊥BC于点N，如图3，先分别用t的代数式表示出MG、MH、MN的长，然后运用角平分线的性质建立等量关系，就可求出t的值.

(1) ∵△APE绕点P顺时针旋转90°得到△DPF,

∴∠D=∠A,∠DFP=∠AEP,∠DPB=∠APE=90°,AP=DP,EP=FP,AE=DF,

∵点F与点B重合，

∴PB=PF,

∴EP=BP,

∵AB=20,AP=4t，

∴EP=BP=20-4t，

∵∠APE=∠ABC=90°,

∴PE∥BC,

∴,

∴,

∵BC=15,AP=4t,AB=20,

∴PE=3t,

∵EP=BP=20-4t,

∴3t=10-4t,

解得：t=,

∴t的值为（秒）；

（2）当与重叠部分的图形为四边形时，如下图：

此时0<t≤，

∵PE∥BC,

∴∠DEG=∠C,

又∵∠D=∠A,

∴,

∴,

∵∠B=90°,AB=20,BC=15,

∴AC=25, ==150,

∵DE=DP-EP=AP-EP=4t-3t=t,

∴,

∴=,

∵===,

∴S=-=-=,

∴S与t的函数关系式为：S=（0<t≤）.

（3）设DF交AC于点G，过点M做MH⊥AB于点H，过点M作MN⊥BC于点N，如下图：

∵，

∴∠DGE=∠B=90°, ,

∵DE=t，AB=20,AC=25,

∴DG=,

∵∠APE=90°,AP=4t,PE=3t,

∴AE=5t,

∴DF=AE=5t,

∵点M是DF的中点，

∴DM=FM=DF=,

∴MG=DM-DG==,

∵∠MHF=∠DPF=90°,

∴MH∥DP,

∴,

∴,

∴MH=DP=2t,FH=FP=EP=,

∴HB=AB-AP-PH=20-4t-=20-,

∵∠MHB=∠B=∠MNB=90°,

∴四边形MNBH为矩形，

∴MN=HB=20-,

①当点M在∠A的角平分线上时，

∵MG⊥AC,MH⊥AB,

∴MG=MH,

∴=2t，

解得：t=0（舍去）.

②当点M在∠B的角平分线上时，

∵MN⊥BC,MH⊥AB,

∴MH=MN,

∴2t=20- ，

解得：t= ,

③当点M在∠C的角平分线上时，

∵MG⊥AC,MN⊥BC,

∴MG=MN,

∴=20- ,

解得：t= ，

综上所述，当点M恰好在的内角角平分线上时，t的值为（秒）或（秒）.