Question

已知二次函数y=x²-2mx+m²-1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），
∴代入二次函数y=x²-2mx+m²-1，得出：m²-1=0，
解得：m=±1，
∴二次函数的解析式为：y=x²-2x或y=x²+2x；

（2）∵m=2，
∴二次函数y=x²-2mx+m²-1得：y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的顶点为：D（2，-1），
当x=0时，y=3，
∴C点坐标为：（0，3）；

（3）当P、C、D共线时PC+PD最短，
过点D作DE⊥y轴于点E，
∵PO∥DE，
∴=，
∴=，
解得：PO=，
∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）．
分析：（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；
（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可；
（3）根据当P、C、D共线时PC+PD最短，利用平行线分线段成比例定理得出PO的长即可得出答案．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及配方法求二次函数顶点坐标以及最短路线问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．