Question

【题目】在平面直角坐标中，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，A（0，a），B（b，0）．

（1）如图1，若+（a-2）2=0，求△ABO的面积；

（2）如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：∠ADB=∠CDE；

（3）如图3，在（1）的条件下，若以P（0，-6）为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ．

Answer 1

【答案】（1）△ABO的面积=4；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】

（1）根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b，根据三角形的面积公式计算；

（2）作AF平分∠BAC交BD于F点，分别证明△ACE≌△BAF，△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质证明；

（3）过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，证明△ACM≌△BAO，根据全等三角形的性质得到CM=AO=2，AM=BO=4，证明四边形ONQB为平行四边形，得到答案．

解：（1）∵+（a-2）2=0，

∴2a-b=0，a-2=0，

解得，a=2，b=4，

∴A（0，2），B（4，0），

∴OA=2，OB=4，

∴△ABO的面积=×2×4=4；

（2）作AF平分∠BAC交BD于F点，

∵AB=AC，∠CAB=90°，

∴∠C=∠ABC=∠DAF=∠BAF=45°，

∵∠CAE+∠BAO=∠ABF+∠BAO=90°，

∴∠CAE=∠ABF，

在△ACE和△BAF中，

，

∴△ACE≌△BAF（ASA），

∴CE=AF，

在△CED和△AFD中，

，

∴△CED≌△AFD（SAS）

∴∠CDE=∠ADB；

（3）过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，

则∠AMC=∠BOA=90°，

∵∠CAM+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CAM=∠ABO，

在△ACM和△BAO中，

，

∴△ACM≌△BAO（AAS），

∴CM=AO=2，AM=BO=4，

∵A（0，2），P（0，-6），

∴AP=8，

∴PM=AP-AM=4，

在△PCM和△QPN中，

，

△PCM≌△QPN（AAS），

∴NQ=PM=4，

∴四边形ONQB为平行四边形，

∴AP∥BQ．