Question

【题目】如图，一次函数y=-x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB的中点为D（3，2）．将△AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C．

（1）求此一次函数的解析式；

（2）求点C的坐标；

（3）在坐标平面内存在点P（除点C外），使得以A、D、P为顶点的三角形与△ACD全等，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）一次函数解析式为y=-x+4.（2）C（，0）；（3）P1（，4）；P2（，-2）；P3（，2）．

【解析】

试题分析：（1）根据线段中点的性质，可得B点，A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）OC=x，根据翻折变换的性质用x表示出BC的长，再根据勾股定理求解即可；

（3）当△ACD≌△AP1D时，根据C、P点关于D点对称，可得P点坐标，当△ACD≌△DP2A时，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；当△ACD≌△DP3A时，根据线段中点的性质，可得答案．

试题解析：（1）设A点坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），

由线段AB的中点为D（3，2），得

=3，=2，

解得a=6，b=4．

即A（6，0），B（0，4）

故一次函数解析式为y=-x+4.

（2）如图1：

连接BC，设OC=x，则AC=CB=6-x，

∵∠BOA=90°，

∴OB2+OC2=CB2，

42+x2=（6-x）2，

解得x=，

即C（，0）；

（3）①当△ACD≌△APD时，设P1（c，d），

由D是PC的中点，得

，=2，

解得c=，d=4，

即P1（，4）；

如图2：

，

②当△ACD≌△DP2A时，

做DE⊥AC与E，P2F⊥AC与F点，DE=2，CE=，

由△CDE≌△AP2F，

AF=CE=，P2F=DE=2，

OF=6-=，

∴P2（，-2）；

③当△ACD≌△DP3A时，设P3（e，f）

A是线段P2P3的中点，得

，，

解得e=，f=2，

即P3（，2），

综上所述：P1（，4）；P2（，-2）；P3（，2）．