Question

【题目】如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论中正确的是（　　）

A.a﹣b+c＞0B.2a+b+c＜0

C.D.a＜﹣1

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a，则2a+b+c＝c＞0，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，根据二次函数的性质得到x＝1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，由于直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b＝﹣2a代入解a的不等式．

解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x＝＝1，

∴b＝﹣2a，

∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以B错误；

∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，

而抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，

∴当x＝﹣1时，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以A错误；

∵x＝1时，二次函数有最大值，

∴ax2+bx+c≤a+b+c，

∴ax2+bx≤a+b，所以C错误；

∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，

∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，

即9a+3b+c＜﹣3+c，

而b＝﹣2a，

∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以D正确．

故选：D．