Question

3．如图所示，在?ABCD中，E为AB中点，在BC上取一点F，使BF：FC=1：2，连接EF交DA的延长线于H，交BD于G．试说明：BD=5BG．

Answer 1

分析 首先根据题意可求得BF：AD=1：3，然后再证明△AHE≌△BFE，从而得到AH=BF，故此BF：DH=1：4，接下来再证明△DHG∽△BFG，得到DG=4BG，从而可得到问题的答案．

解答 证明：∵BF：FC=1：2，
∴BF：AD=1：3．
∵AH∥BF，
∴∠H=∠BFE．
在△AHE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠BFE}\\{AE=BE}\\{∠AEH=∠BEF}\end{array}\right.$，
∴AHE≌△BFE．
∴AH=BF．
∴BF：DH=1：4．
∵∠HDG=∠GBF，∠DGH=∠BGF，
∴△DHG∽△BFG．
∴$\frac{DG}{BG}=\frac{DH}{BF}=4$．
∴DG=4BG
∴BD=5BG．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质是解题的关键．