Question

3．如图，EC与AD相交于F，EB、DB平分∠AEC、∠ADC交于点B．
（1）请问：∠B与∠A、∠C之间有何关系？直接写出结论即可，不需证明；
（2）如果∠A：∠B：∠C=2：4：a，求a的值．

Answer 1

分析 （1）令BE与AD交于G，由三角形内角和定理得出∠A+∠AEB=∠B+∠ADB，∠C+∠CDB=∠B+∠BEC，由角平分线的性质得出∠AEB=∠BEC，∠CDB=∠ADB，故可得出结论；
（2）根据∠A：∠B：∠C=2：4：a可令∠A=2，∠B=4，则∠C=a，代入（1）中的关系式即可得出结论．

解答 解：（1）令BE与AD交于G．
∵△AGE中，∠A+∠AEB+∠AGE=180°，∠B+∠ADB+∠BGD=180°，∠AGE=∠BGD，
∴∠A+∠AEB=∠B+∠ADB．
同理：∠C+∠CDB=∠B+∠BEC，
∴∠A+∠C+∠AEB+∠CDB=2∠B+∠ADB+∠BEC．
∵EB平分∠AEC，
∴∠AEB=∠BEC．
∵DB平分∠ADC，
∴∠CDB=∠ADB，
∴∠A+∠C=2∠B．

（2）∵∠A：∠B：∠C=2：4：a，
∴令∠A=2，∠B=4，则∠C=a．
∵由（1）知，∠A+∠C=2∠B，
∴2+a=8，解得a=6．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．