Question

如图，直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C，经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点．

（1）试求点A、C的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时，点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又PN∥x轴，交AC于P，问在运动过程中，线段PM的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由．

 

 

Answer 1

（1）A（﹣1，0）；C（0，﹣3）；

（2）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（3）在运动过程中，线段PM的长度存在最小值．

【解析】

试题分析：（1）由直线解析式y=﹣3x﹣3，将y=0代入求出x的值，得到直线与x轴交点A的坐标，将x=0代入求出y的值，得到直线与y轴交点C的坐标；

（2）根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，且过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3），可得到方程组，解方程组即可求出抛物线的解析式；

（3）由对称性得点B（3，0），设点M运动的时间为t秒（0≤t≤3），则M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P（xP，﹣t），则可得xP．再过点P作PD⊥x轴于点D，则D（﹣1，0），在△PDM中利用勾股定理得出PM2=MD2+PD2=（﹣+4）2+（﹣t）2=（25t2﹣96t+144），利用二次函数的性质可知当t=时，PM2最小值为，即在运动过程中，线段PM的长度存在最小值．

试题解析：（1）∵y=﹣3x﹣3，

∴当y=0时，﹣3x﹣3=0，解得x=﹣1，

∴A（﹣1，0）；

∵当x=0时，y=﹣3，

∴C（0，﹣3）；

（2）∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3），

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（3）由对称性得点B（3，0），设点M运动的时间为t秒（0≤t≤3），则M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P（xP，﹣t）．

即-t=-3xp-3

xp=，

过点P作PD⊥x轴于点D，则D（，0），

∴MD=（3﹣t）﹣（）=﹣+4，

∴PM2=MD2+PD2=（﹣+4）2+（﹣t）2=（25t2﹣96t+144），

又∵﹣＜3，

∴当t=时，PM2最小值为，

故在运动过程中，线段PM的长度存在最小值．

考点：1、一次函数图象上点的坐标特征；2、待定系数法；3、勾股定理；4、二次函数的性质