Question

6．如图，在△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，分别以AB、AC为边作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接ED交AB于点F．求证：
（1）BC=$\frac{1}{2}$AB
（2）EF=DF．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半证明即可；
（2）过点E作EG⊥AB于G，根据等边三角形的性质求出GE=AD，再求出∠DAF=∠EGF，然后利用“角角边”证明△ADF和△GEF全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答 证明：（1）∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB；

（2）如图，过点E作EG⊥AB于G，
∵△ABE是等边三角形，
∴GE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
在△ABC中，AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠CAD=60°，
∴GE=AD，
∵∠DAF=∠CAD+∠BAC=60°+30°=90°，
∴∠DAF=∠EGF=90°，
在△ADF和△GEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠EGF=90°}\\{∠AFD=∠GFE}\\{GE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GEF（AAS），
∴EF=DF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，难点在于作辅助线构造出全等三角形并求出GE=AD．