Question

【题目】如图，若内一点满足，则称点为的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知中，，，为的布罗卡尔点，若，则________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作CH⊥AB于H．首先证明，再证明△PAB∽△PBC，可得，即可求出PA、PC.

解：作CH⊥AB于H．

∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°，
∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，

∴BC=2CH,
∴AB=2BH=2= ，

∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，
∴∠PAB=∠PBC，
∴△PAB∽△PBC，

，

∵，

∴PA=，PC=,

∴PA+PC=，

故答案为：.