Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=10cm，点D从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿BA方向以cm/s的速度向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是t(0<1≤10)s．过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，DE。

（1）用含t的式子填空：BE=________cm ，CD=________cm。

（2）试说明，无论t为何值，四边形ADEF都是平行四边形；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形?请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）（1）t ，10-t；（2）见解析；（3）满足条件的t的值为5s或s，理由见解析

【解析】

（1） 点D从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度向点C匀速运动 ，由路程=时间×速度，得AD=t, CD=10-t,; 点E从点B出发沿BA方向以cm/s的速度向点A匀速运动,所以BE=t；

（2）因为 △ABC 是等腰直角三角形，得∠B=45°，结合BE= t，得EF=t,又因为∠EFB和∠C都是直角相等，得 AD∥EF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形ADFE是平行四边形；

（3） ①当∠DEF=90°时，因为DF平分对角，四边形EFCD是正方形，这时 AD=DE=CD=5，求得t=5;②当∠EDF=90°时，由DF∥AE，两直线平行，内错角相等，得∠AED=∠EDF=90°，结合∠A=45°，AD=AE , 据此列式求得t值即可； ③当∠EFD=90°，点D、E、F在一条直线上，△DFE不存在.

（1）由题意可得BE=tcm，CD=AC-AD=(10-t)cm，

故填：t ，10-t；

（2）解：如图2中

∵CA=CB，∠C=90°

∴∠A=∠B=45°，

∵EF⊥BC，

∴∠EFB=90°

∴∠FEB=∠B=45°

∴EF=BF

∵BE=t，

∴EF=BF=t

∴AD=EF

∵∠EFB=∠C=90°

∴AD∥EF，

∴四边形ADFE是平行四边形

（3）解：①如图3-1中，当∠DEF=90°时，四边形EFCD是正方形，此时AD=DE=CD，

∴t=10-t,∴t=5

②如图3-2中，当∠EDF=90°时，

∵DF∥AC，

∴∠AED=∠EDF=90°，

∵∠A=45°

∴AD=AE，

∴t=(10- t)，

解得t=

③当∠EFD=90°，△DFE不存在

综上所述，满足条件的t的值为5s或s.