Question

如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交于AE的延长线于F，连接BF．
（1）求证：CF=BD；
（2）若CA=CB，∠ACB=90°，试判断四边形CDBF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的判定

专题：证明题

分析：（1）由CF与AB平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由E为CD中点，得到CE=DE，利用AAS得到三角形ECF与三角形ADE全等，利用全等三角形对应边相等得到AD=CF，而CD为AB边的中线，得到AD=BD，等量代换即可得证；
（2）四边形CDBF为正方形，理由为：由第一问的结论CF=BD，以及CF与BD平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到CDBF为平行四边形，由CA=CB，CD为AB边上的中线，利用三线合一得到CD垂直于AB，即∠CDB为直角，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=BD，即可得证．

解答：（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠CFE=∠DAE，∠FCE=∠ADE，
∵E为CD的中点，
∴CE=DE，
在△ECF和△EDA中，

∠CFE=∠DAE ∠FCE=∠ADE CE=DE

，
∴△ECF≌△DEA（AAS），
∴CF=AD，
∵AD=BD，
∴CF=BD；
（2）四边形CDBF为正方形，理由为：
∵CF=BD，CF∥BD，
∴四边形CDBF为平行四边形，
∵CA=CB，CD为AB边上的中线，
∴CD⊥AB，即∠BDC=90°，
∵等腰直角△ABC中，CD为斜边上的中线，
∴CD=

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AB，即CD=BD，
则四边形CDBF为正方形．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．