Question

如图，已知二次函数图象y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（-1，0），C（0，3）
（1）求这个二次函数解析式以及B的坐标；
（2）在（1）中抛物线上是否存在点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？若有求出Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A（-1，0）、C（0，3）两点代入抛物线解析式可得b，c的值，令y=0，可得B点的坐标；
（2）在（1）中抛物线上存在点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形，有两种可能：B为直角顶点、C为直角顶点，要充分认识△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通过解直角三角形求出相关线段的长度．

解答：解：（1）把A（-1，0）、C（0，3）两点代入抛物线解析式y=-x²+bx+c中得：

-1-b+c=0 c=3

，
解得：

b=2 c=3

，
所以抛物线解析式为：y=-x²+2x+3，
令y=0，
即0=-x²+2x+3，
所以x=-1或3，
即B点的坐标为（3，0）；
（2）在（1）中抛物线上存在点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形，
理由如下：有两种情况：
如图1，过点B作BQ₁⊥BC，交抛物线于点Q₁、交y轴于点F，连接Q₁C．
∵CO=BO=3，
∴∠CBO=45°，
∴∠FBO=45°，BO=OF=3．
∴点F的坐标为（0，-3）．
将（0，-3），（3，0）代入y=kx+b得：

b=-3 3k+b=0

，
解

k=1 b=-3

，
∴直线BE的解析式为y=x-3，
由

y=x-3 y=-x2+2x+3

，
解得

x=-2 y=-5

或

x=3 y=0

，
∴点Q₁的坐标为（-2，-5）．
如图2，过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q₂、交x轴于点F，连接BQ₂．
∵∠CBO=45°，
∴∠CFB=45°，OF=OC=3．
∴点F的坐标为（-3，0）．
∴直线CF的解析式为y=x+3．
由

y=x+3 y=-x2+2x+3

解得：

x=0 y=3

或

x=1 y=4

，
∴点Q₂的坐标为（1，4）．
综上，在抛物线上存在点Q₁（-2，-5）、Q₂（1，4），使△BCQ₁、△BCQ₂是以BC为直角边的直角三角形．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及待定系数法求直线的解析式和等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用直线解析式组成方程组求出Q的坐标，题目的难点在于（3）小题中，用到了分类讨论的数学思想，考虑问题要全面，做到不重不漏．