Question

【题目】如图1：在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），试探索AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE．继续推理就可以使问题得到解决．

（1）请根据小明的思路，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（2）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外的一点，且∠ADC＝45°，线段AD，BD，CD之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；

（3）如图3，已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且∠ADC＝45°．

①若AD＝6，BD＝8，求弦CD的长为　 　；

②若AD+BD＝14，求的最大值，并求出此时⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）CD2+BD2＝2AD2，见解析；（2）BD2＝CD2+2AD2，见解析；（3）①7，②最大值为，半径为

【解析】

（1）先判断出∠BAD＝CAE，进而得出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，∠B＝∠ACE，再根据勾股定理得出DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，即可得出结论；

（2）同（1）的方法得，ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，再用勾股定理的出DE2＝2AD2，CE2＝CD2+DE2＝CD2+2AD2，即可得出结论；

（3）先根据勾股定理的出DE2＝CD2+CE2＝2CD2，再判断出△ACE≌△BCD（SAS），得出AE＝BD，

①将AD＝6，BD＝8代入DE2＝2CD2中，即可得出结论；

②先求出CD＝7，再将AD+BD＝14，CD＝7代入，化简得出﹣（AD﹣）2+，进而求出AD，最后用勾股定理求出AB即可得出结论．

解：（1）CD2+BD2＝2AD2，

理由：由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，∠B＝∠ACE，

在Rt△ABC中，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠ACE＝45°，

∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，

根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2，

在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，

∴CD2+BD2＝2AD2；

（2）BD2＝CD2+2AD2，

理由：如图2，

将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE，

同（1）的方法得，ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，在Rt△ADE中，AD＝AE，

∴∠ADE＝45°，

∴DE2＝2AD2，

∵∠ADC＝45°，

∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝90°，

根据勾股定理得，CE2＝CD2+DE2＝CD2+2AD2，

即：BD2＝CD2+2AD2；

（3）如图3，过点C作CE⊥CD交DA的延长线于E，

∴∠DCE＝90°，

∵∠ADC＝45°，

∴∠E＝90°﹣∠ADC＝45°＝∠ADC，

∴CD＝CE，

根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝2CD2，

连接AC，BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∵∠ADC＝45°，

∴∠BDC＝45°＝∠ADC，

∴AC＝BC，

∵∠DCE＝∠ACB＝90°，

∴∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，

①AD＝6，BD＝8，

∴DE＝AD+AE＝AD+BD＝14，

∴2CD2＝142，

∴CD＝7，

故答案为7；

②∵AD+BD＝14，

∴CD＝7，

∴＝AD（BD+×7）＝AD（BD+7）

＝ADBD+7AD＝AD（14﹣AD）+7AD＝﹣AD2+21AD＝﹣（AD﹣）2+，

∴当AD＝时，的最大值为，

∵AD+BD＝14，

∴BD＝14﹣＝，

在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝，

∴⊙O的半径为OA＝AB＝．