Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．

（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝_____°，∠DEC＝_____°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变______（填”大”或”小”）；

（2）当DC＝AB＝2时，△ABD与△DCE是否全等？请说明理由：

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）25，115，小；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE；理由见解析；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．

【解析】

（1）首先利用三角形内角和为180°可算出∠BAD＝180°﹣40°﹣115°＝25°；再利用邻补角的性质和三角形内角和定理可得∠DEC的度数；

（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE．

（3）分类讨论：由（2）可知∠ADB＝∠DEC，所以∠AED与∠ADE不可能相等，于是可考虑∠DAE＝∠AED和∠DAE＝∠ADE两种情况．

解：（1）∵∠B＝40°，∠ADB＝115°，AB＝AC，

∴∠BAD＝180°﹣40°﹣115°＝25°，∠C＝∠B＝40°；

∵∠ADE＝40°，∠ADB＝115°，

∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°．

∴∠DEC＝180°﹣40°﹣25°＝115°，

当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小，

故答案为：25，115，小；

（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：

理由：∵∠C＝40°，

∴∠DEC+∠EDC＝140°，

又∵∠ADE＝40°，

∴∠ADB+∠EDC＝140°，

∴∠ADB＝∠DEC，

又∵AB＝DC＝2，

∴在△ABD和△DCE中，，

∴△ABD≌△DCE（AAS）；

（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下：

∵当∠BDA＝110°时，

∴∠ADC＝70°，

∵∠C＝40°，

∴∠DAC＝70°，

∴∠AED＝180°-70°-40°=70°，

∴∠AED＝∠DAC，

∴AD=DE，

∴△ADE是等腰三角形；

∵当∠BDA的度数为80°时，

∴∠ADC＝100°，

∵∠C＝40°，

∴∠DAC＝40°，

∴∠DAC＝∠ADE，

∴AE=DE，

∴△ADE是等腰三角形．

综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形.