Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点A（-1，0），B（0，3），直线BC交坐标轴于B，C，且∠CBA=45°，求直线BC的解析式．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，由A、B的坐标可知OA=1，OB=3，根据勾股定理AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BD=AD=$\sqrt{\frac{1}{2}A{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$，设AC=x，则OC=x+1，DC=$\sqrt{{x}^{2}-5}$，BC=$\sqrt{{x}^{2}-5}$+$\sqrt{5}$，在RT△OBC中，根据勾股定理得出OC²+OB²=BC²，即（x+1）²+3²=（$\sqrt{{x}^{2}-5}$+$\sqrt{5}$），解得x₁=-$\frac{5}{2}$（舍去），x₂=5，求得OC=6，得出C（-6，0），然后根据待定系数法即可求得BC的解析式．

解答 解：作AD⊥BC于D，
∵点A（-1，0），B（0，3），
∴OA=1，OB=3，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵∠CBA=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD=AD=$\sqrt{\frac{1}{2}A{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
设AC=x，则OC=x+1，
∴DC=$\sqrt{{x}^{2}-5}$，
∴BC=$\sqrt{{x}^{2}-5}$+$\sqrt{5}$，
在RT△OBC中，OC²+OB²=BC²，即（x+1）²+3²=（$\sqrt{{x}^{2}-5}$+$\sqrt{5}$），
解得x₁=-$\frac{5}{2}$（舍去），x₂=5，
∴AC=5，OC=6，
∴C（-6，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+3．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及勾股定理的应用，作出辅助线构建等腰直角三角形是解题的关键．