Question

已知：抛物线C₁：。如图（1），平移抛物线C₁得到抛物线C₂，C₂经过C₁的顶点O和A（2，0），C₂的对称轴分别交C₁、C₂于点B、D。

（1）求抛物线C₂的解析式；

（2）探究四边形ODAB的形状并证明你的结论；

（3）如图（2），将抛物线C₂向m个单位下平移（m＞0）得抛物线C₃，C₃的顶点为G，与y轴交于M。点N是M关于x轴的对称点，点P（）在直线MG上。问：当m为何值时，在抛物线C₃上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？

Answer 1

解：（1）设抛物线C₂的解析式为，把A（2，0）代入得，。

∴抛物线C₂的解析式为。

（2）四边形ODAB是正方形，理由如下：

设BD与x轴交于点E，

∵，

∴D（1，－1），B(1，1)，E(1，0)。

∴OE=EA=ED=EB=1，且OA⊥BD，

∴ODAB为正方形。              

（3）设抛物线C₃的解析式为。

则M（0，），N（0，），

，∴G（1，）。

设直线MG为，则，

解得，

∴直线MG为。

如图，若P、M、N、R四点构成平行四边形，

只能有三种情况，而显然R在第三象限不可能，

∴R只可能在四象限或二象限。

①     若R在第四象限，∵M、N关于点O对称，

所以P、R也关于点O对称，

∴R（），

过N作NQ∥PM，

∴直线NQ为，

当时，，

∴R在直线NR上。

把R（）代入，得

∵，∴。                  

②若R在第二象限，则PR∥MN，PM∥NR,，且R在NQ上

∵MN⊥x轴，∴PR⊥x轴，则R（）

∵R在NQ上，

∴，

又∵R在抛物线C₃上，则

∵，∴。    

∴当或时，在抛物线C₃上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的

四边形为平行四边形。