Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB，点E在斜边AB上且AC=AE．
（1）求AB的长度；
（2）求证：△ACD≌△AED；
（3）求线段CD的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：（1）已知AC，BC，根据勾股定理即可求得AB的长，即可解题；
（2）已知∠DAC=∠DAE，即可证明△DAC≌△DAE，即可解题；
（3）由（2）结论可得∠AED=∠ACD，AE=AC，即可求得BE的长，易证△BDE∽△BAC，可得

DE

BE

=

AC

BC

，即可解题．

解答：解：（1）∵RT△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，
∴AB²=AC²+BC²=100，
∴AB=10；
（2）∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC=∠DAE，
在△DAC和△DAE中，

AC=AE ∠DAC=∠DAE AD=AD

，
∴△DAC≌△DAE（SAS）；
（3）∵△DAC≌△DAE，
∴∠AED=∠ACD=90°，AE=AC=6，
∴BE=AB-AE=4，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴

DE

BE

=

AC

BC

，即

DE

4

=

6

8

，
∴DE=3．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△DAC≌△DAE是解题的关键．