如图抛物线y=x2+2x+1+k与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C．(1)求抛物线的对称轴及k的值,(2)抛物线的对称轴上是否存在一点P.使得PB+PC的值最小.若存在.求此时点P的坐标,若不存在.请说明理由,(3)点M是抛物线上一动点.且在第三象限．①当M点运动到何处时.△AMB的面积最大?求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标,②当M点运动到何处时.四边形AMCB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图抛物线y=x²+2x+1+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PB+PC的值最小，若存在，求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限．
①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由抛物线y=x²+2x+1+k与y轴交于点C（0，-3），将点C的坐标代入函数解析式求解即可；
（2）连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，求得A与C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式，则可求得此时点P的坐标；
（3）①设点M的坐标为：（x，（x+1）²-4），即可得S_△AMB=

×4×|（x+1）²-4|，由二次函数的最值问题，即可求得△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②设点M的坐标为：（x，（x+1）²-4），然后过点M作MD⊥AB于D，由S_{四边形ABCM}=S_△OBC+S_△ADM+S_梯形OCMD，根据二次函数的最值问题的求解方法，即可求得四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=（x+1）²+k与y轴交于点C（0，-3），∴-3=1+k，
∴k=-4，
∴抛物线的解析式为：y=（x+1）²-4，
∴抛物线的对称轴为：x=-1；
（2）存在．
如图1，

连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，
当y=0时，（x+1）²-4=0，
解得：x=-3或x=1，
∵A在B的左侧，
∴A（-3，0），C（0，-3），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∴

0=-3k+b

-3=b

，
解得：

k=-1

b=-3

，
∴直线AC的解析式为：y=-x-3，
当x=-1时，y=-（-1）-3=-2，
∴点P的坐标为：（-1，-2）；
（3）①如图2，

设点M的坐标为：（x，（x+1）²-4），
∵AB=4，
∴S_△AMB=

×4×|（x+1）²-4|=2|（x+1）²-4|，
∵点M在第三象限，
∴S_△AMB=8-2（x+1）²，
∴当x=-1时，
即点M的坐标为（-1，-4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；
②设点M的坐标为：（x，（x+1）²-4），
如图3，过点M作MD⊥AB于D，

S_{四边形ABCM}=S_△OBC+S_△ADM+S_梯形OCMD=

×3×1+

×（3+x）×[4-（x+1）²]+

×（-x）×[3+4-（x+1）²]，
=-

（x²+3x-4）=-

（x+

）²+

，
当x=-

时，y=（-

+1）²-4=-

，
当点M（-

，-

）时，四边形AMCB的最大面积，最大是

．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值问题，三角形与四边形的面积问题以及线段和最短问题等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．

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