Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PB，PC，且满足∠PCA＝∠ABC

（1）求证：PA＝PC；

（2）求证：PA是⊙O的切线；

（3）若BC＝8，，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝8．

【解析】

（1）根据垂径定理可得AD＝CD，得PD是AC的垂直平分线，可判断出PA＝PC；

（2）由PC＝PA得出∠PAC＝∠PCA，再判断出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠PAC＝90°，即可得出结论；

（2）根据AB和DF的比设AB＝3a，DF＝2a，先根据三角形中位线可得OD＝4，从而得结论．

（1）证明∵OD⊥AC，

∴AD＝CD，

∴PD是AC的垂直平分线，

∴PA＝PC，

（2）证明：由（1）知：PA＝PC，

∴∠PAC＝∠PCA．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠CBA＝90°．

又∵∠PCA＝∠ABC，

∴∠PCA+∠CAB＝90°，

∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，

∴PA是⊙O的切线；

（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，

∴OD∥BC，OD＝BC＝＝4，

∵，

设AB＝3a，DF＝2a，

∵AB＝EF，

∴DE＝3a﹣2a＝a，

∴OD＝4＝﹣a，

a＝8，

∴DE＝8．