Question

如图，在四边形ABCD中，AB=4，CD=13，DE=12，∠DAB=∠DEC=90°，∠ABE=135°，四边形ABCD的面积是（　　）

• A、94
• B、90
• C、84
• D、78

Answer 1

考点：勾股定理

专题：

分析：连接DB，延长AB和DE交于F，设BE=x，先由勾股定理，得DB²=x²+12²，AD²=x²+128，再证明△BEF是等腰直角三角形，得出EF=BE=x，BF=

2

x，然后在直角△ADF中，根据勾股定理得出AD²+AF²=DF²，由此列出关于x的方程，解方程求出x的值，则四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCE的面积．

解答：解：连接DB，延长AB和DE交于F，设BE=x，
由勾股定理，得DB²=BE²+DE²=x²+12²，
AD²=DB²-AB²=x²+12²-4²=x²+128．
∵∠ABE=135°，
∴∠EBF=45°，
又∵∠BEF=90°，
∴EF=BE=x，BF=

2

x．
在△ADF中，∵∠DAF=90°，
∴AD²+AF²=DF²，
即x²+128+（4+

2

x）²=（12+x）²，
∴3x²+8

2

x+144=x²+24x+144，
2x²=（24-8

2

）x，
∵x≠0，
∴x=12-4

2

，
∴AD²=（12-4

2

）²+128=304-96

2

，
∴AD=12

2

-4．
∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCE的面积
=

1

2

AB•AD+

1

2

（BE+EC）•DE
=

1

2

×4（12

2

-4）+

1

2

（12-4

2

+5）×12
=94．
故选A．

点评：本题考查了勾股定理，邻补角的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，有一定难度．正确作出辅助线．利用方程思想是解题的关键．