Question

【题目】如图，已知在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延长CA到O，使AO=AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明：连接OD，
∵∠BCA=90°，∠B=30°，
∴∠OAD=∠BAC=60°，
∵OD=OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，
∴∠ADC=∠ACD=∠OAD=30°，
∴∠ODC=60°+30°=90°，
即OD⊥DC，
∵OD为半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB=4，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴OD=OA=AC=AB=2，
由勾股定理得：CD===2，
∴S阴影=S△ODC﹣S扇形AOD=×2×2﹣=2﹣π．

【解析】（1）连接OD，求出∠OAD=60°，得出等边三角形OAD，求出AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，求出∠ADC=∠ACD=∠OAD=30°，求出∠ODC=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）求出OD，根据勾股定理求出CD长，分别求出三角形ODC和扇形AOD的面积，相减即可．