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【题目】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.

(1)求证:OE=OF;

(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;

(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.

【答案】1)证明见解析;(26.5;(3)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.

【解析】试题分析:(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2∠3=∠4,进而得出答案;

2)根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°,进而利用勾股定理求出EF的长,即可得出CO的长;

3)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可.

1)证明:∵MN∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F

∴∠2=∠5∠4=∠6

∵MN∥BC

∴∠1=∠5∠3=∠6

∴∠1=∠2∠3=∠4

∴EO=COFO=CO

∴OE=OF

2)解:∵∠2=∠5∠4=∠6

∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°

∵CE=12CF=5

∴EF==13

∴OC=EF=6.5

3)解:当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.

证明:当OAC的中点时,AO=CO

∵EO=FO

四边形AECF是平行四边形,

∵∠ECF=90°

平行四边形AECF是矩形.

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进价(元/件)

20

30

售价(元/件)

29

40

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(2)该购物中心第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品,其中甲种商品的件数不变,乙种商品的件数是第一次的3倍;甲商品按原价销售,乙商品打折销售,第二次两种商品都销售完以后获得总利润比第一次获得的总利润多160元,求第二次乙种商品是按原价打几折销售?

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