Question

6．已知关于x的一元二次方程x²-6x-k²=0（k为常数）．
相关链接：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x₁，x₂为方程的两个实数根，且x₁+2x₂=14，试求出方程的两个实数根和k的值．

Answer 1

分析 （1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明判别式△=b²-4ac的值大于0即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到两根的和是6，结合x₁+2x₂=14即可求得方程的两个实根，进而可求k的值．

解答 （1）证明：∵b²-4ac=（-6）²-4×1×（-k²）=36+4k²＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．

（2）解：∵x₁+x₂=6，
又∵x₁+2x₂=14，
∴6+x₂=14，
∴x₂=8，x₁=-2．
将x₁=-2代入原方程得：（-2）²-6×（-2）-k²=0，
解得k=±4．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，根据一元二次方程的根与系数的关系得出x₁+x₂=6，代入x₁+2x₂=14求出x₂=8是解题的关键．