Question

如图，AB是圆O的直径，AD，BC，DC均为切线，求证：
（1）DC=AD+BC；
（2）∠DOC=90°．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）连接OE，由AD，BC，DC都为圆的切线，利用切线长定理得到DA=DE，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换即可得证；
（2）由DA=DE，OD为公共边，且夹角相等，利用SAS得到三角形AOD与三角形EOD全等，同理得到三角形EOC与三角形BOC全等，利用全等三角形的对应角相等得到两对角相等，再利用平角的定义及等式的性质即可得证．

解答：证明：（1）连接OE，
∵AD，BC，DC均为圆O的切线，
∴DA=DE，BC=EC，
∴DC=DE+EC=AD+BC；
（2）连接OD，
∵AD，BC，DC均为圆O的切线，
∴DO、CO分别平分∠ADE、∠BCE，
∴∠ADO=∠EDO，∠ECO=∠BCO，
在△AOD和△EOD中，

AD=ED ∠ADO=∠EDO OD=OD

，
∴△AOD≌△EOD（SAS），
同理△ECO≌△BCO，
∴∠AOD=∠EOD，∠EOC=∠BOC，
∵∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴∠DOE+∠EOC=90°，
则∠DOC=90°．

点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．