Question

如图（1），在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
（1）求证：AE=BC；
（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE'F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；
（3）在图（2）的旋转过程中当旋转角α=

 

时，CE′∥AB．

Answer 1

考点：旋转的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠C=72°，再根据角平分线的定义求出∠ABE=∠CBE=36°，然后求出∠BEC=72°，从而得到∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，再根据等角对等边证明即可；
（2）求出AE=AF，再根据旋转的性质可得∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，然后利用“边角边”证明△CAE′和△BAF′全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（3）把△AEF绕点A逆时针旋转AE′与过点C与AB平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．

解答：（1）证明：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=

1

2

（180°-36°）=72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=

1

2

×72°=36°，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°，
∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，
∴AE=BE，BE=BC，
∴AE=BC；

（2）证明：∵AB=AC，EF∥BC，
∴AE=AF，
由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
在△CAE′和△BAF′中，

AE′=AF′ ∠E′AC=∠F′AB AB=AC

，
∴△CAE′≌△BAF′（SAS），
∴CE′=BF′；

（3）解：存在CE′∥AB．
由（1）可知AE=BC，
所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，
①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，
所以，∠BAM=∠ABC=72°，
又∵∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°；
②当点E的像E′与点N重合时，
∵CE′∥AB，
∴∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°-72°×2=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，
综上所述，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．
故答案为：36°或72°．

点评：本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，（1）利用角的度数相等得到相等的角是解题的关键，（3）从圆弧的角度考虑求解是解题的关键，难点在于分情况讨论．