Question

如图，⊙O的直径AB=6cm，DE与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点，BC的延长线交DE于点D，CO的延长线交DE于点E，过点C作⊙O的切线CF交DE于F，且∠CED的正弦值是方程25x²-15

3

x+6=0的两实根的平方和．
（1）求证：CE²=AE•DE；
（2）求CF和CD的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：连接AC，如图，根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，则∠2+∠B=90°，再根据切线的性质得AB⊥DE，则∠D+∠B=90°，所以∠D=∠2，加上∠1=∠2，于是由∠1=∠D，然后根据相似的判定方法得到△EAC∽△ECD，利用相似比即可得到CE²=AE•DE；
（2）设方程25x²-15

3

x+6=0的两实根为m、n，根据根与系数的关系得m+n=

15 3

25

=

3 3

5

，mn=

6

25

，则可计算出m²+n²=（m+n）²-2mn=

3

5

，即sin∠CED=

3

5

，
在Rt△AOE中，根据正弦的定义得OE=5，利用勾股定理计算出AE=4，根据切线的性质得到OC⊥CF，所以在Rt△ECF中，利用正弦的定义得sin∠E=

CF

EF

=

3

5

，
设CF=3x，EF=5x，则CE=4x，易得4x=8，解得x=2，所以CF=6cm；然后利用△EAC∽△ECD得到

8

DE

=

4

8

=

AC

CD

，所以DE=16，AC=

1

2

CD，则AD=DE-AE=12，在Rt△ACD中，利用勾股定理可计算出CD．

解答：（1）证明：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠B=90°，
∵DE与⊙O相切于点A，
∴AB⊥DE，
∴∠D+∠B=90°，
∴∠D=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠D，
∵∠AEC=∠CED，
∴△EAC∽△ECD，
∴

CE

DE

=

AE

CE

，
∴CE²=AE•DE；
（2）解：设方程25x²-15

3

x+6=0的两实根为m、n，
∵m+n=

15 3

25

=

3 3

5

，mn=

6

25

，
∴m²+n²=（m+n）²-2mn=（

3 3

5

）²-2×

6

25

=

3

5

，
∴sin∠CED=

3

5

，
在Rt△AOE中，sin∠E=

OA

OE

=

3

5

，
而OA=3，
∴OE=5，
∴AE=

OE2-OA2

=4，
∵CF为⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
在Rt△ECF中，sin∠E=

CF

EF

=

3

5

，
设CF=3x，EF=5x，则CE=4x，
而CE=OE+OC=5+3=8，
∴4x=8，解得x=2，
∴CF=6cm；
∵△EAC∽△ECD，
∴

CE

DE

=

AE

CE

=

AC

CD

，即

8

DE

=

4

8

=

AC

CD

，
∴DE=16，AC=

1

2

CD，
∴AD=DE-AE=12，
在Rt△ACD中，
∵CD²+AC²=AD²，
∴CD²+

1

4

CD²=12²，
∴CD=

24 5

5

（cm）．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和切线的性质；会运用相似比、锐角三角函数和勾股定理进行几何计算；记住一元二次方程根与系数．