Question

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，交圆与点F，连接AC、BC．
（1）△ABC的形状是

 

理由是

 

；
（2）求证：BC平分∠ABE；
（3）若AB=8，BF=4，求圆心O到BE的距离？那么CE的长呢？

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理求解；
（2）连接OC，如图，根据切线的性质得OC⊥DE，而BE⊥DE，根据平行线的判定得到OC∥BE，则∠OCB=∠CBE，加上∠OCB=∠OBC，所以∠OBC=∠CBE；
（3）作OF⊥BE于H，如图，根据垂径定理得BH=

1

2

BF=2，在Rt△OBH中，利用勾股定理可计算出OH=2

3

，再证明四边形OCDH为矩形，则CE=OH=2

3

．

解答：（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC为直角三角形．
故答案为直角三角形；直径所对的圆周角为90°；
（2）证明：连接OC，如图，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵BE⊥DE，
∴OC∥BE，
∴∠OCB=∠CBE，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠CBE，
∴BC平分∠ABE；
（3）解：作OF⊥BE于H，如图，
∵OH⊥BF，
∴BH=FH=

1

2

BF=

1

2

×4=2，
在Rt△OBH中，OB=4，
∴OH=

OB2-BH2

=2

3

，
∵OC⊥DE，BE⊥DE，
∴四边形OCDH为矩形，
∴CE=OH=2

3

，
即圆心O到BE的距离为2

3

，CE的长为2

3

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理．