Question

4．阅读下面部分解题和探究思路，请补充完整并完成相关任务．
[原题]如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

（1）思路梳理
∵AB=AD
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合
∵∠ADC=∠B=90°
∴∠FDG=180°
∴点F、D、G在一条直线上，根据SAS，易证△AFG≌△AFE
∴GF=EF，从而可得EF=BE+DF
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠D=180°时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F均在边BD上，且∠EAF=45°，据图形提示试猜想BE、FE、DF满足的等量关系，并写出推理过程．

Answer 1

分析 （1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；
（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，与（1）的证法类同；
（3）把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△AEE′，连接EE′，根据旋转的性质，可知△AFD≌△ABE′得到BE′=FD，AE′=AF，∠D=∠ABE′，∠EAD=∠E′AB，在Rt△ABD中的，AB=AD，可求得∠E′BD=90°，所以E′B²+BE²=E′E²，证△AE′E≌△AE′F，利用FE=EE′得到EF²=BE²+FD²．

解答 解：（1）∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即EF=BE+DF，
故答案为：△AFE；
（2）当∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，如图2

∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即EF=BE+DF，
故答案为：∠B+∠D=180°；
（3）猜想：EF²=BE²+FD²，
证明：把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△AEE′，连接EE′，如图3，

∴△AFD≌△ABE′，
∴BE′=FD，AE′=AF，∠D=∠ABE′，∠EAD=∠E′AB，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠ABD+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°，
∴E′B²+BE²=E′E²，
又∵∠FAE=45°，
∴∠BAE+∠EAD=45°，
∴∠E′AB+∠BAE=45°，即∠E′AE=45°，
在△AEE′和△AEF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠E′AE=∠FAE}\\{AE′=AF}\end{array}\right.$
∴△AEE′≌△AEF（SAS），
∴EE′=FE，
∴EF²=BE²+DF²．

点评 本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质、旋转变换的性质以及勾股定理及其逆定理的应用等知识．掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．