Question

．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点，其中B（6，0），与y轴交于点C（0，8），点P是x轴上方的抛物线上一动点（不与点C重合）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，点E关于直线PC的对称点为，若点落在y轴上（不与点C重合），请判断以P，C，E，为顶点的四边形的形状， 并说明理由；

（3）在（2）的条件下直接写出点P的坐标．

 

Answer 1

解：

（1）∵点C（0，8）在抛物线上，

∴，

又∵B（6，0）在抛物线上，

∴，

∴，

∴抛物线的表达式为．

（2） 结论：以P，C，E，为顶点的四边形为菱形．

证明：∵E和关于直线PC对称，

∴∠=∠ECP，，，

又∵PE∥y轴，

∴∠EPC=∠=∠ECP，

∴EP=EC，

∴，

∴四边形为菱形

（3）∵B（6，0），C（0，8），

∴BC的表达式为．

设，则，

∴PE的长为=，

过点E作EF⊥y轴于点F，

∴△CFE∽△COB，

∴，∴，即．

由PE=EC得，解得，

∴点P的坐标为．