Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接CD．

（1）求证：∠A=∠BCD；

（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；

（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．

试题解析：（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°. ∴∠A+∠DCA=90°.

∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°. ∴∠DCB=∠A.

（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切，理由如下：

如答图，连接DO，

∵DO=CO，∴∠1=∠2.

∵DM=CM，∴∠4=∠3.

∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°. ∴直线DM与⊙O相切．