Question

如图1，AB是圆O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是圆O上半部分的一个动点，连接OP，CP．

（1）求△OPC的最大面积；
（2）求∠OCP的最大度数；设∠OCP=α，当线段CP与圆O只有一个公共点（即P点）时，求α的范围（直接写出答案）；
（3）如图2，延长PO交圆O于点D，连接DB，当CP=DB，求证：CP是圆O的切线．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）在△OPC中，底边OC长度固定，因此只要OC边上高最大，则△OPC的面积最大；观察图形，当OP⊥OC时满足要求；
（2）PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得．再根据α的最大度数即可得出结论；
（3）连接AP，BP通过△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC，从而求得PC是⊙O的切线．

解答：（1）解：∵AB=4，
∴OB=2，OC=OB+BC=4．
在△OPC中，设OC边上的高为h，
∵S_△OPC=

1

2

OC•h=2h，
∴当h最大时，S_△OPC取得最大值．
观察图形，当OP⊥OC时，h最大，如答图1所示：
此时h=半径=2，S_△OPC=2×2=4．
∴△OPC的最大面积为4．

（2）解：当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如答图2所示：
∵sin∠OCP=

OP

OC

=

2

4

=

1

2

，
∴∠OCP=30°
∴∠OCP的最大度数为30°．
∴设∠OCP=α，当线段CP与圆O只有一个公共点（即P点）时，0＜α≤30°；

（3）证明：图3，连接AP，BP．
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD，
∵

AD

=

PB

，
∴

AP

=

BD

，
∴AP=BD，
∵CP=DB，
∴AP=CP，
∴∠A=∠C
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C，
在△ODB与△BPC中，

BC=OB=2 CP=BD ∠C=∠OBD

，
∴△ODB≌△BPC（SAS），
∴∠D=∠BPC，
∵PD是直径，
∴∠DBP=90°，
∴∠D+∠BPD=90°，
∴∠BPC+∠BPD=90°，
∴DP⊥PC，
∵DP经过圆心，
∴PC是⊙O的切线．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．