Question

【题目】如图1，在中，弦弦，垂足为点，连接、、，．

（1）求证：

（2）如图2，过点作，垂足为点，求证：

（3）如图3，在（2）的条件下，延长、交于点，过点作，垂足为，交于，若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接OB，OD，利用圆周角定理结合三角形内角和定理可得结果；

（2）过O作OT⊥BC于T，连接OB，OC，在ED上找点G，使得CE=EG，连接BG，证明，得到OH=BT，设∠BDC=α，利用垂直平分线的性质得到BC=BG，结合三角形外角的性质得到BC=BG=GD，从而可得结果；

（3）在AF上作点Q，使得AQ=BQ，连接BQ，OQ，过B作BW⊥AF于点W，设BF=x，则AF=3x，推出△QBF为直角三角形，利用勾股定理得出AQ、BQ、BW、FW、AW的表达式，从而得到，，设BE=n，则DE=3n，EG=3n-12，在△BEG中，利用勾股定理求出n的值，得到BE、DE、EG、EC的值，利用三角函数算出NE的长，再证明△CBE∽△ADE，得到，算出AE，从而得到AN，最后在△AMN利用勾股定理求出MN的长.

解：（1）连接OB，OD，

∵AD=AB，

∴弧AC=弧AD，

∴∠AOB=∠AOD，

∴∠OAB=∠OBA，∠OAD=∠ODA，

∴，

∵，

∴；

（2）过O作OT⊥BC于T，连接OB，OC，在ED上找点G，使得CE=EG，连接BG，

∵∠COB=2∠CAB，∠CAB=∠CDB，∠AOB=∠AOD，，

∴2∠OAH=2∠BAO=∠COB，

∵OC=OB，OT⊥BC，

∴∠OAH=∠BOT，

又∵∠OTB=∠OHA=90°，OB=OA，

∴，

∴OH=BT，

∵BC=2BT，

∴2OH=BC，

设∠BDC=α，

∴∠BCD=∠BAD=2α，

∵CE=GE，AB⊥CD，

∴BC=BG，则∠BGC=∠BCG=2α，

∵∠BDC=α，

∴∠GBD=α，

∴BC=BG=GD，

∴DE=EG+GD=CE+BC=CE+2OH，

即；

（3）在AF上作点Q，使得AQ=BQ，连接BQ，OQ，过B作BW⊥AF于点W，

∵AQ=BQ，OA=OB，

∴OQ垂直平分AB，

∴∠QAB=∠QBA，

∵AF=3BF，设BF=x，则AF=3x，

∵AB⊥CD，

∴∠ACD+∠CAB=90°，

∵∠ACD=∠ABD，

∴∠ABD+∠ABQ=90°，

∴△QBF为直角三角形，

设AQ=QB=a，则FQ=3x-a，在△QBF中，

，解得：，

即AQ=BQ=，QF=，

∴BW=BF×BQ÷QF=，

∴FW=，

∴AW=AF-FW=，

∴，，

由（2）知：BC=BG=DG=12，CE=EG，

∴BE=ED·tan∠BDC，

设BE=n，则DE=3n，EG=3n-12，

在△BEG中，，

解得：n=或0（舍），

∴BE=，DE=，EG=EC=，

在△DMC和△BDE中，

∠MCD=∠EBD，∠DMC=∠DEB，

∴∠MDC=∠EDB，

∴tan∠MDC=tan∠EDB=tan∠CAB=，

∴NE=DE×=，

∵∠BCE=∠BAD，∠CBE=∠ADE，

∴△CBE∽△ADE，

∴，

∴AE=3CE=，

∴AN=AE-NE=，

∴设MN=m，则AM=3m，在△AMN中，

，

解得：m=或（舍）

∴.