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【题目】RtABC中,∠B=90°,BC=4AB=8,点D是边AC的中点,动点P在边AB(P不与点A重合),连接PDPC,将△PDC沿直线PD翻折,点C落在点E处得△PDE

1)如图①,若点E恰好与点A重合,求线段AP的长;

2)如图②,若EDAB于点F,四边形CDEP为菱形,求证:△PFE≌△AFD

3)连接AE,设△PDE与△ABC重叠部分的面积为S1,△PAC的面积为S2,若S1=S2时,请直接写出tanAED的值.

【答案】1AP=5;(2证明见解析;(33

【解析】

1)根据翻折的性质得AP=PC,设AP=x,根据勾股定理列出方程,解出x的值即可;

2)根据菱形的性质得出PECDPE=CD,在根据此条件和DAC的中点可得出AD=PEPEAC,然后即可推出△PFE≌△AFD

(3)根据S1=S2推出AF=PFEF=DF,然后分两种情况讨论如下图:①过DDMAP于点M,过CCNPD于点N;②过DDMAP于点M,再分别计算即可.

1)∵△PDE由△PDC翻折所得

AP=PC

AP=x

∵∠B=90°,

∴在RtPBC中,PC2=PB2+BC2

x2=8-x2+42

解得x=5

AP=5

2)∵四边形CDPE为菱形,

PECDPE=CD

DAC的中点,

AD=CD

AD=PE

PECD

PEAC

∴∠APE=PAD,∠DEP=ADE

在△PFE与△AFD

∴△PFE≌△AFD

3)∵DAC的坐标,

SADP=SCDP=SPAC

由折叠可得:SPDE=SCDP

SPDF=SPAC=SADP=SPDE

AF=PFEF=DF

①如图,四边形AEPD是平行四边形,

DDMAP于点M,过CCNPD于点N

则∠AED=EDP=PDC

∵,∠B=90°,BC=4AB=8

AC=

PC=PE=AD=

PB=

BM=AB=4DM=BC=2(中位线),

PM=BM-PB=2

DP=

DN=CN=

tanAED=tanPDC==3

②如图,过DDMAP于点M

AP=DE=DC=

PM=-4

tanAED=tanDPM=

综上:tanAED的值为3

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