【题目】在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=4,AB=8,点D是边AC的中点,动点P在边AB上(点P不与点A重合),连接PD、PC,将△PDC沿直线PD翻折,点C落在点E处得△PDE.
(1)如图①,若点E恰好与点A重合,求线段AP的长;
(2)如图②,若ED交AB于点F,四边形CDEP为菱形,求证:△PFE≌△AFD;
(3)连接AE,设△PDE与△ABC重叠部分的面积为S1,△PAC的面积为S2,若S1=S2时,请直接写出tan∠AED的值.
【答案】(1)AP=5;(2)证明见解析;(3)3或.
【解析】
(1)根据翻折的性质得AP=PC,设AP=x,根据勾股定理列出方程,解出x的值即可;
(2)根据菱形的性质得出PE∥CD,PE=CD,在根据此条件和D是AC的中点可得出AD=PE,PE∥AC,然后即可推出△PFE≌△AFD;
(3)根据S1=S2推出AF=PF,EF=DF,然后分两种情况讨论如下图:①过D作DM⊥AP于点M,过C作CN⊥PD于点N;②过D作DM⊥AP于点M,再分别计算即可.
(1)∵△PDE由△PDC翻折所得
∴AP=PC,
设AP=x,
∵∠B=90°,
∴在Rt△PBC中,PC2=PB2+BC2,
即x2=(8-x)2+42,
解得x=5,
∴AP=5;
(2)∵四边形CDPE为菱形,
∴PE∥CD,PE=CD,
∵D是AC的中点,
∴AD=CD,
∴AD=PE,
∵PE∥CD,
∴PE∥AC,
∴∠APE=∠PAD,∠DEP=∠ADE,
在△PFE与△AFD中,
∴△PFE≌△AFD;
(3)∵D是AC的坐标,
∴S△ADP=S△CDP=S△PAC,
由折叠可得:S△PDE=S△CDP,
∴S△PDF=S△PAC=S△ADP=S△PDE,
∴AF=PF,EF=DF,
①如图,四边形AEPD是平行四边形,
过D作DM⊥AP于点M,过C作CN⊥PD于点N,
则∠AED=∠EDP=∠PDC,
∵,∠B=90°,BC=4,AB=8,
∴AC=,
∴PC=PE=AD=,
∴PB=,
∴BM=AB=4,DM=BC=2(中位线),
∴PM=BM-PB=2,
∴DP=,
∴DN=,CN=,
∴tan∠AED=tan∠PDC==3,
②如图,过D作DM⊥AP于点M
,
∵AP=DE=DC=,
∴PM=-4,
∴tan∠AED=tan∠DPM=,
综上:tan∠AED的值为3或.
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【题目】如图1,在中,弦弦,垂足为点,连接、、,.
(1)求证:
(2)如图2,过点作,垂足为点,求证:
(3)如图3,在(2)的条件下,延长、交于点,过点作,垂足为,交于,若,,求的长.
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【题目】已知:抛物线l,y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求抛物线l的顶点P的坐标为的A的坐标;
(2)将抛物线l先向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到抛物线l1,请直接写出平移后的抛物线l1的表达式;
(3)将抛物线l向右平移m个单位长度,得到抛物线l2,其中点A的对应点为点M,若点M、A、P是恰好一个矩形的三个顶点,请求出m的值
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【题目】已知:如图,在矩形ABCD中,点O在对角线BD上,以OD的长为半径的⊙O与AD,BD分别交于点E、点F,且∠ABE=∠DBC.
(1)判断直线BE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若sin∠ABE=,CD=2,求⊙O的半径.
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【题目】一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1,2,3,4的小球,它们的形状、大小完全相同,小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x,小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y,这样确定了点P(x,y),请用“列表法”或“树状图法”求点P(x,y)在函数y=-x+5图象上的概率.
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【题目】随着互联网的高速发展,人们的支付方式发生了巨大改变,某学习小组抽样调查了春节期间某商场顾客的支付方式,主要有现金支付、银联卡支付和手机支付,调查得知使用这三种支付的人数比为,手机支付已成为市民购物便捷支付方式.手机支付主要有以下三种方式:~支付宝,~微信,~其他.现将使用手机支付方式人数的调查结果绘制成如下不完整的统计图.
(1)扇形统计图中,________;请补全条形统计图;
(2)若该商场春节期间共20000人购物,请估计用支付宝进行支付的人数.
(3)经调查某天顾客现金支付、银联卡支付、手机支付每笔交易发生的平均金额分别为120元、260元、80元,求这天顾客每笔交易的平均金额.
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【题目】2019年底,2020年初我国爆发了新冠肺炎疫情,为了增加学生对疫情和肺炎的预防知识的了解,某学校利用网络开展了相关知识的宣传教育活动,为了解这次的宣传效果,学校从全校3600名学生中随机抽取200名学生进行知识测试(满分100分,得分均为整数),并根据这200人的测试成绩,制订如下统计图表:
(1) , ,成绩最好的等级A所占的百分比;
(2)张亮在这次测试中成绩为85分,你认为85分一定是这200名学生知识测试成绩的中位数吗?请简要说明理由;
(3)如果80分以上(包括80分)为优秀,请估计全校3600名学生中成绩优秀的人数.
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【题目】小昕的口袋中有5把相似的钥匙,其中2把钥匙(记为A1,A2)能打开教室前门锁,而剩余的3把钥匙(记为B1,B2,B3)不能打开教室前门锁.
(1)小昕从口袋中随便摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是 ;
(2)请用树状图或列表等方法,求出小昕从口袋中第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁(摸出的钥匙不再放回),而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的对角线OB,AC相交于点D,OA=3,OC=2,且BE∥AC,AE∥OB.
(1)求证:四边形AEBD是菱形;
(2)求经过点E的双曲线对应的函数解析式;
(3)设经过点E的双曲线与直线BE的另一交点为F,过点F作x轴的平行线,交经过点B的双曲线于点G,交y轴于点H,求△OFG的面积.
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