Question

【题目】已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC．

（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若sin∠ABE=，CD=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）直线BE与⊙O相切，证明见解析；（2）⊙O的半径为．

【解析】分析：（1）连接OE，根据矩形的性质，可证∠BEO=90°，即可得出直线BE与⊙O相切；

（2）连接EF，先根据已知条件得出BD的值，再在△BEO中，利用勾股定理推知BE的长，设出⊙O的半径为r，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值．

详解：（1）直线BE与⊙O相切．理由如下：

连接OE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．

∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE．

又∵∠ABE=∠DBC，∴∠ABE=∠OED，

∵矩形ABDC，∠A=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠OED+∠AEB=90°，∴∠BEO=90°，∴直线BE与⊙O相切；

（2）连接EF，方法1：

∵四边形ABCD是矩形，CD=2，∴∠A=∠C=90°，AB=CD=2．

∵∠ABE=∠DBC，∴sin∠CBD=

∴，

在Rt△AEB中，∵CD=2，∴．

∵tan∠CBD=tan∠ABE，∴，

由勾股定理求得．

在Rt△BEO中，∠BEO=90°，EO2+EB2=OB2．

设⊙O的半径为r，则，∴r=，

方法2：∵DF是⊙O的直径，∴∠DEF=90°．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD=2．

∵∠ABE=∠DBC，∴sin∠CBD=．

设，则．

span>∵CD=2，∴．

∵tan∠CBD=tan∠ABE，∴，

∴E为AD中点．

∵DF为直径，∠FED=90°，∴EF∥AB，∴，∴⊙O的半径为．