Question

17．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．
（1）求证：AC²=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定与性质，可得$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，根据比例的性质，可得答案；
（2）根据直角三角形的性质，可得CE与AE的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠EAC=∠ECA，根据角平分线的定义，可得∠CAD=∠CAB，根据平行线的判定，可得答案．

解答 证明：（1）∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB．
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
AC²=AB•AD；
（2）∵E是AB的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA．
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠CAD=∠ECA，
∴CE∥AD．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，（1）利用了相似三角形的判定与性质，比例的性质；（2）利用了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定．