Question

8．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是⊙O上的一个动点，且C，D两点位于直径AB的两侧．连接CD，过点C作CE⊥CD交DB的延长线于点E．若AC=2，BC=4，则线段DE长的最大值是10．

Answer 1

分析 当CD是直径时，DE最长，由AB是直径，得到∠ACB=90°，解出AB=$\sqrt{{{AC}^{2}+BC}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，又因为∠A=∠D，∠ACB=∠DCE=90°，推出△ABC∽△DEC，根据相似三角形的性质列方程求解．

解答 解：当CD是直径时，DE最长，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{{{AC}^{2}+BC}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠A=∠D，∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{AC}{CD}$，
即$\frac{2\sqrt{5}}{DE}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴DE=10，
故答案为：10．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理的应用，确定DE什么时候取最大值是解题的关键．