Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=8，OD=1，点C为线段AB的中点

(1)直接写出点C的坐标 ；

(2)求直线CD的解析式；

(3)在平面内是否存在点F，使得以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)点C的坐标为(4，4)；(2)直线CD的解析式是y=；(3)点F的坐标是(11，4)，(5，-4)或(-3，4)．

【解析】

（1）由OA，OB的长度可得出点A，B的坐标，结合点C为线段AB的中点可得出点C的坐标；
（2）由OD的长度可得出点D的坐标，根据点C，D的坐标，利用待定系数法可求出直线CD的解析式；
（3）设点F的坐标为（m，n），分AC为对角线、AD为对角线及CD为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出点F的坐标．

(1)∵OA=OB=8，点A在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，

∴点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(0，8)．

又∵点C为线段AB的中点，

∴点C的坐标为(4，4)．

(2)∵OD=1，点D在x轴的正半轴，

∴点D的坐标为(1，0)．

设直线CD的解析式为y=kx+b(k≠0)，

将C(4，4)，D(1，0)代入y=kx+b，

得：，

解得：，

∴直线CD的解析式是y=．

(3)存在点F，使以A、C、D、F为点的四边形为平行四边形，设点F的坐标为(m，n)．

分三种情况考虑，如图所示：

①当AC为对角线时，

∵A(8，0)，C(4，4)，D(1，0)，

∴，

解得：，

∴点F1的坐标为(11，4)；

②当AD为对角线时，

∵A(8，0)，C(4，4)，D(1，0)，

∴，

解得：，

∴点F2的坐标为(5，-4)；

③当CD为对角线时，

∵A(8，0)，C(4，4)，D(1，0)，

∴，

解得：，

∴点F3的坐标为(-3，4)．

综上所述，点F的坐标是(11，4)，(5，-4)或(-3，4)．