Question

18．如图1，正方形ABCD中，点E为AD上任意一点，连接BE，以BE为边向BE右侧作正方形BEFG，EF交CD于点M，连接BM，N为BM的中点，连接GN，FN．
（1）若AB=4，AE：DE=3：1，求EM的长；
（2）求证：GN=FN；
（3）如图2，移动点E，使得FN⊥CD于点Q时，请探究CM与DE的数量关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意分别求出AE、DE，证明△ABE∽△DEM，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可；
（2）连接EN，根据直角三角形的性质得到EN=$\frac{1}{2}$BM，证明△NBG≌△NEF即可；
（3）延长ED，过点F作FH⊥ED，交ED的延长线于H，证明△ABE≌△HEF，得到AE=HF，根据矩形的性质得到DR=FH，等量代换即可．

解答 解：（1）∵AB=4，AE：DE=3：1，
∴AE=3，DE=1，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=5，
∵∠BEF=90°，∠BEF=90°，∠BEF=90°，
∴△ABE∽△DEM，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BE}{EM}$，即$\frac{4}{1}$=$\frac{5}{EM}$，
解得，EM=$\frac{5}{4}$；
（2）连接EN，
∵∠BEF=90°，N为BM的中点，
∴EN=$\frac{1}{2}$BM=BN=NM，
∴∠NBE=∠NEB，
∴∠NBG=∠NEF，
在△NBG和△NEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=EF}\\{∠NBG=∠NEF}\\{NB=NE}\end{array}\right.$，
∴△NBG≌△NEF，
∴GN=FN；
（3）如图2，延长ED，过点F作FH⊥ED，交ED的延长线于H，
∵∠BCD=90°，N为BM的中点，
∴CN=$\frac{1}{2}$BM=BN=NM，
∵FN⊥CD，
∴CR=MR=$\frac{1}{2}$CM，
∵∠A=∠H=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠ABE=∠FEH，
在△ABE和△HEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠H}\\{∠ABE=∠FEH}\\{BE=FE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△HEF，
∴AE=HF，
∵∠H=∠RDH=∠DRF=90°，
∴四边形DRFH是矩形，
∴AE=HF=DR，
∴AD-AE=CD-DR，即DE=CR，
∴DE=$\frac{1}{2}$CM．

点评 本题考查的是正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．