Question

3．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A（2，0），B（4，0），C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB=45°．线段CD的长的最小值为5-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，求出半径和PC的长度，判出点D只有在CP上时CD最短，CD=CP-DP求解即可．

解答 解：如图，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，
∵A（2，0）、B（4，0），
∴E（3，0）
又∠ADB=45°，
∴∠APB=90°（圆心角所对的角等于圆周角的二倍），
∴PE=1，PA=$\sqrt{2}$PE=$\sqrt{2}$，
∴P（3，1），
∵C（0，5），
∴PC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
又∵PD=PA=$\sqrt{2}$，
∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP）
∴CD最小值为：5-$\sqrt{2}$．
故答案为：5-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查坐标与图形的性质，圆周角定理及勾股定理，解决本题的关键是判出点D只有在CP上时CD最短．