Question

11．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=9，点M在BC上，且BM：MC=1：2，DE⊥AM于点E，求DE的长为$\frac{36}{5}$．

Answer 1

分析 根据比例求出BM，再利用勾股定理列式求出AM，然后求出△ABM和△DEA，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=9，∠B=90°，
∵BM：MC=1：2，
∴BM=$\frac{1}{3}$×9=3，
在Rt△ABM中，AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵DE⊥AM，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∵∠BAM+∠DAE=90°，
∴∠BAM=∠ADE，
又∵∠B=∠AED=90°，
∴△ABM∽△DEA，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{AD}{AM}$，即$\frac{DE}{4}=\frac{9}{5}$，
∴DE=$\frac{36}{5}$；
故答案为：$\frac{36}{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质；证明相似三角形得出比例式是解题的关键．