Question

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-8ax-9a的图象经过点C（0，3），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将（0，3）代入抛物线解析式求得a的值，从而得出抛物线的解析式，再令y=0，得出x的值，即可求得点A、B的坐标；
（2）如图1，作A'H⊥x轴于H，可证明△AOC∽△COB，得出∠ACO=∠CBO，由A'H∥OC，即可得出A′H的长，即可求得A′的坐标；
（3）分两种情况：①如图2，以AB为直径作⊙M，⊙M交抛物线的对称轴于P（BC的下方），由圆周角定理得出点P坐标；②如图3，类比第（2）小题的背景将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A'，以A'B为直径作⊙M'，⊙M'交抛物线的对称轴于P'（BC的上方），作M'E⊥抛物线的对称轴所在的直线，垂足为E，在Rt△P′M′E中，由勾股定理求得P′E的长，然后求得点M的坐标，从而可求得点P′的坐标．

解答 解：（1）∵把C（0，3）代入y=ax²-8ax-9a得-9a=3，解得a=-$\frac{1}{3}$，
∴所以抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{8}{3}$x+3．
∵令y=0得：-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{8}{3}$x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=9，
∴A（-1，0），B（9，0）．
（2）如图1，作A'H⊥x轴，垂足为H．

∵$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}$，且∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB．
∴∠ACO=∠CBO．
∴∠ACB=∠OBC+∠BCO=90°，
∵A'H∥OC，AC=A'C，
∴OH=OA=1，A'H=2OC=6；
∴A'（1，6）；
（3）分两种情况：
①如图2，以AB为直径作⊙M，⊙M交抛物线的对称轴于P（BC的下方）．

∵x=-$\frac{b}{2a}$=4，
∴点P的横坐标为4．
由圆周角定理得∠CPB=∠CAB，
∵A（-1，0），B（9，0），
∴AB=10．
∴MP=$\frac{1}{2}$AB=5．
∴P（4，-5）．
②如图3所示：以A'B为直径作⊙M'，⊙M'交抛物线的对称轴于P′，过点M′作M′E⊥P′F，垂足为E，连接P′M′．

∵点A′与点A关于BC对称，
∴AB=A′B=10，∠A=∠A′．
∵∠CP′B=∠CA′B，
∴∠CP′B=∠A．
∵A′（1，6），B（9，0）
∴M′（5，3）．
∴M′E=1．
∵M′P′=$\frac{1}{2}$A′B=5，
∴P′E=$\sqrt{P′M{′}^{2}-M′{E}^{2}}$=$2\sqrt{6}$．
∴点P′的坐标为（4，2$\sqrt{6}$+3）．
综上所述，点P的坐标为P（4，-5）或（4，2$\sqrt{6}$+3）．

点评 本题考查了二次函数的相关性质、一次函数的相关性质、圆周角定理、轴对称图形的性质、勾股定理等知识点．本题解题技巧要求高，因此对考生的综合能力提出了很高的要求，以AB和A′B为直径构造⊙M和⊙M′是解题的关键．